Fonction génératrice \(g_X\) d'une
v.a. \(X\) à valeur dans \({\Bbb N}\)
Fonction définie par : $$g_X:\begin{align}[0,1]&\longrightarrow[0,1]\\ r&\longmapsto {\Bbb E}[r^X]=\sum_{n=0}^{+\infty}r^n{\Bbb P}(X=n)\end{align}$$
- valeurs aux bornes : \(g_X(0)={\Bbb P}(X=0)\) et \(g_X(1)=1\)
- \(g_X\) est \(\mathcal C^\infty\) sur \(]0,1[\) et continue sur \([0,1]\)
- propriété importante : \(g_X\) caractérise la Loi \({\Bbb P}_X\)
- autre propriété importante : $$g_X^\prime(1)={\Bbb E}[X]$$
- dans le cas d'un vecteur aléatoire, l'expression de la fonction génératrice est donnée par : \({\Bbb E}[e^{\langle{t,X}\rangle }]\)
